散文精选网切割线定理公式及证明在几何学中，切割线定理是圆与直线关系中的一个重要定理，常用于解决与圆相关的几何难题。该定理描述了从圆外一点引出的切线和割线之间的数量关系，具有重要的应用价格。
一、切割线定理公式
设点 $ P $ 在圆外，从点 $ P $ 引出一条切线，切点为 $ T $；再引出一条割线，交圆于两点 $ A $ 和 $ B $（其中 $ PA < PB $），则有如下公式：
$$
PT^2 = PA \cdot PB
$$
该公式表明：从圆外一点引出的切线长的平方，等于该点到割线与圆交点的两段长度的乘积。
二、切割线定理的证明
证明思路：
1. 构造三角形 $ \triangle PTA $ 和 $ \triangle PTB $。
2. 利用相似三角形的性质进行推导。
3. 最终得出 $ PT^2 = PA \cdot PB $。
详细步骤如下：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 设点 $ P $ 在圆外，$ PT $ 是切线，$ PA $ 和 $ PB $ 是割线，且 $ PA < PB $。 |
| 2 | 连接 $ OT $（$ O $ 为圆心），由于 $ PT $ 是切线，因此 $ \angle OTP = 90^\circ $。 |
| 3 | 考虑三角形 $ \triangle PTA $ 和 $ \triangle PTB $，由于 $ \angle P $ 公共，且 $ \angle PAT = \angle PBT $（同弧所对角相等），故 $ \triangle PTA \sim \triangle PTB $。 |
| 4 | 根据相似三角形的性质，对应边成比例：$ \fracPA}PT} = \fracPT}PB} $。 |
| 5 | 交叉相乘得：$ PT^2 = PA \cdot PB $。 |
三、拓展资料
| 项目 | 内容 |
| 定理名称 | 切割线定理 |
| 公式 | $ PT^2 = PA \cdot PB $ |
| 条件 | 点 $ P $ 在圆外，$ PT $ 为切线，$ PA $、$ PB $ 为割线的两个交点 |
| 应用 | 计算切线长度或验证几何图形关系 |
| 证明技巧 | 相似三角形法，利用角度关系和边的比例关系 |
切割线定理是解析几何与平面几何中的重要工具，尤其在涉及圆的性质时，能有效简化计算经过。掌握该定理及其证明技巧，有助于进步几何难题的分析和解决能力。
